Relaciones de equivalencia(reflexiva, simétrica, transitiva), relación inversa y composición de relaciones

 Relaciones de equivalencia.-

• En teoría de conjuntos y álgebra, la noción de relación de equivalencia sobre un conjunto permite establecer una relación entre los elementos del conjunto que comparten cierta característica o propiedad. Esto permite reagrupar dichos elementos en clases de equivalencia, es decir, "paquetes" de elementos similares. Esto posibilita la construcción de nuevos conjuntos «añadiendo» todos los elementos de una misma clase como un solo elemento que los representará y que define la noción de conjunto cociente. Información y Video.

Relación inversa.-

• Video
  

Composición de relaciones.-

• Video
  

Pares ordenados, producto cartesiano y su gráfica, relación, dominio y dominio de imagen de una relación

 Pares ordenados.- 

• En matemáticas, un par ordenado es una pareja de objetos matemáticos, en la que se distingue un elemento y otro. El par ordenado cuyo primer elemento es a y cuyo segundo elemento es b se denota como (a, b). Información.
• Se llama par ordenado a un conjunto formado por dos elementos y un criterio de ordenación que establece cuál es primer elemento y cuál el segundo. A partir de dos objetos a y b, se forma un nuevo objeto (a, b) llamado par ordenado. En general (a, b) ≠ (b, a), a "a" se le llama primera componente o abscisa y a "b" se llama segunda componente u ordenada. Video.

Producto cartesiano.- 

• En matemáticas, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse de forma que el primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto. El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto. Información.
• La noción de producto cartesiano se emplea en el ámbito de la matemática, más precisamente en el campo del álgebra. El producto cartesiano revela una relación de orden entre dos conjuntos, constituyéndose como un tercer conjunto. El producto cartesiano de un conjunto A y de un conjunto B es el conjunto constituido por la totalidad de los pares ordenados que tienen un primer componente en A y un segundo componente en B. Video.

Representación gráfica del producto cartesiano.- 

• Explicación #1
  
• Explicación #2
• Explicación #3

Relación.- 

• Una relación es un vínculo o una correspondencia. En el caso de la relación matemática, se trata de la correspondencia que existe entre dos conjuntos: a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto. Información.
• Video.
  

Dominio y dominio de imagen de una relación.-  

• Video #1
  
• Video #2
  
• Video #3

Compuertas lógicas, álgebra de Boole, mapas de Karnaugh y grafos dirigidos

 Compuertas Lógicas.-

• Las Compuertas lógicas son circuitos electrónicos conformados internamente por transistores que se encuentran con arreglos especiales con los que otorgan señales de voltaje como resultado o una salida de forma booleana, están obtenidos por operaciones lógicas binarias (suma, multiplicación). También niegan, afirman, incluyen o excluyen según sus propiedades lógicas. Información.

1. AND.- Video con ejemplos.
2. OR.- Video con ejemplos.
3. XOR.- Video con ejemplos.
4. NOT.- Video con ejemplos.

Álgebra de Boole.- 

• El álgebra de Boole, también llamada álgebra booleana, en electrónica digital, informática y matemática es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas. Información y Video.

Mapas de Karnaugh.- 

• Un mapa de Karnaugh es un diagrama utilizado para la simplificación de funciones algebraicas Booleanas. El mapa de Karnaugh fue inventado en 1953 por Maurice Karnaugh, un físico y matemático de los laboratorios Bell.

  Los mapas de Karnaugh reducen la necesidad de hacer cálculos extensos para la simplificación de expresiones booleanas, aprovechando la capacidad del cerebro humano para el reconocimiento de patrones y otras formas de expresión analítica, permitiendo así identificar y eliminar condiciones muy inmensas. Video.

Grafos dirigidos.- 

• Un grafo es un modelo para representar relaciones entre elementos de un conjunto.

  Gráficamente se representa como un conjunto vértices o nodos unidos por líneas que representan las aristas. Información.

Fórmulas lógicamente equivalentes, leyes lógicas, simplificación de fórmulas proposicionales, circuitos lógicos, lógica de bits(NOT, AND, OR, XOR)

 Fórmulas lógicamente equivalentes.- 

• En lógica, las declaraciones p y q son lógicamente equivalentes si tienen el mismo contenido lógico. Este es un concepto semántico, dos afirmaciones son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad en todos los modelos. Equivalencias lógicas y Video.

Leyes lógicas.- Video con ejemplos.

Simplificación de fórmulas proposicionales.- Video con ejemplos.

Circuitos lógicos.- 

• En definitiva los circuitos lógicos con interruptores no son más que un arreglo de un conjunto de interruptores de compuertas abiertas y cerradas que tiene como finalidad transmitir información de manera conveniente, es decir, también se pueden negar el paso de la información restringiendo ciertas rutas dirigiendo la información bajo nuestro juicio. Información y Video.

Lógica de bits.- 

• NOT.- El NOT bit a bit, o bitwise, o complemento, es una operación unaria que realiza la negación lógica en cada bit, invirtiendo los bits del número, de tal manera que los ceros se convierten en 1 y viceversa.
• AND.- El AND bit a bit, o bitwise, toma dos números enteros y realiza la operación AND lógica en cada par correspondiente de bits. El resultado en cada posición es 1 si el bit correspondiente de los dos operandos es 1, y 0 de lo contrario.
• OR.- Una operación OR de bit a bit, o bitwise, toma dos números enteros y realiza la operación OR inclusivo en cada par correspondiente de bits. El resultado en cada posición es 1 si el bit correspondiente de cualquiera de los dos operandos es 1, y 0 si ambos bits son 0.
• XOR.- El XOR bit a bit, o bitwise, toma dos números enteros y realiza la operación OR exclusivo en cada par correspondiente de bits. El resultado en cada posición es 1 si el par de bits son diferentes y cero si el par de bits son iguales.

Ejemplos de lógica de bits.

Proposiciones simples, fórmulas proposicionales y su clasificación(tautología, anti-tautología, contingencia), tablas de valores de verdad

 Proposiciones simples.- 

• Son aquellas proposiciones que solo tienen un solo enunciado. Ejemplos.

Proposiciones compuestas o fórmulas proposicionales.-

• Una proposición será compuesta si no es simple. Es decir, si está afectada por negaciones o términos de enlace entre oraciones componentes. En otras palabras, es aquella que forman 2 o más proposiciones simples unidad por uno o más conectivos lógicos. Ejemplos.

Clasificación de las formulas proposicionales.- 

• Tautología.- En lógica proposicional, una tautología es una fórmula bien formada que resulta verdadera para cualquier interpretación; es decir, para cualquier asignación de valores de verdad que se haga a sus fórmulas atómicas. La construcción de una tabla de verdad es un método efectivo para determinar si una fórmula cualquiera es una tautología o no.Información y Video.

• Anti-tautolgía.- En lógica, una contradicción es una incompatibilidad entre dos o más proposiciones. Por ejemplo, las oraciones "llueve y no llueve" y "ni llueve ni truena, pero llueve y truena" expresan contradicciones lógicas. Información y Video.

• Contingencia.- Son aquellas fórmulas cuyo valor de verdadero/falso depende de la valoración de los símbolos proposicionales que contiene. Las proposiciones dan un resultado negativo y positivo. Video.

Tablas de valores de verdad.- 

• Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdades, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar.​

  Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921. Información y Video.

Definición de Lógica, proposiciones y operaciones con proposiciones.

Definiciones de lógica.-

• La lógica matemática es la que estudia la inferencia mediante sistemas formales como la lógica proposicional, la lógica de primer orden y la lógica modal. Clic aquí para más información.
• Algunos autores también la identifican con la lógica matemática o la lógica simbólica, ya que utiliza una serie de símbolos especiales que la acercan al lenguaje matemático. Las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas. Clic aquí para más información
• Se conoce como lógica matemática, también llamada lógica simbólica, lógica formal, lógica teorética o logística, a la aplicación del pensamiento lógico a determinadas áreas de la matemática y la ciencia. Clic aquí para más información.

Definición de proposición.-

• En filosofía y lógica, el término proposición se usa para referirse a: 

1. Las entidades portadoras de los valores de verdad.
2. Los objetos de las creencias y de otras actitudes proposicionales.
3. El significado de las oraciones declarativas o enunciativas, como "el Sol es una estrella". Clic aquí para más información.

• Una proposición es un enunciado declarativo al que puede asignarse valores de verdad. Clic aquí para más información.

Operaciones con proposiciones.- 

• Negación.- La negación clásica es una operación sobre un valor de verdad (generalmente, el valor de una proposición), que produce un valor de verdadero cuando su operando es falso, y un valor de falso cuando su operando es verdadero. Información y Video.
• Conjunción o producto lógico.-  En razonamiento formal, una conjunción lógica (  ) entre dos proposiciones es un conector lógico cuyo valor de la verdad resulta en cierto solo si ambas proposiciones son ciertas, y en falso de cualquier otra forma.​ Existen diferentes contextos donde se utiliza la conjunción lógica. En lenguajes formales, la palabra "y" se utiliza en español para simbolizar una conjunción lógica. Información y Video.
• Disyunción o suma lógica.- En razonamiento formal, una disyunción lógica (${\displaystyle \lor }$) (también llamado disyunción incluyente, disyunción débil o disyunción inclusiva) entre dos proposiciones es un conector lógico, cuyo valor de la verdad resulta en falso solo si ambas proposiciones son falsas, y en verdadero de cualquier otra forma. Información y Video.
• Implicación o condicional.- En lógica, la implicación, también llamada implicación lógica o implicación material se simboliza formalmente como:  e indica que  es una conclusión lógica de . Se lee "A implica B" o "A, por tanto B". Información y Video.
• Bi-Condicional o doble implicación.- El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad difieren. Información y Video.